단위 원판
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1. 개요
단위 원판은 주어진 거리 함수에 대해 중심으로부터 거리가 1보다 작은 점들의 집합을 의미한다. 유클리드 거리 외에도 택시 기하학, 체비쇼프 거리 등 다른 거리 함수를 사용하여 정의할 수 있으며, 각 거리 함수에 따라 원판의 형태가 달라진다. 복소 평면과 상반 평면 사이의 관계, 쌍곡 평면의 푸앵카레 원반 모형 등 다양한 수학적 모델을 구성하는 데 활용된다.
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항등 함수는 집합 X의 각 원소를 자기 자신에게 대응시키는 함수로서, 정의역과 공역이 같은 집합 X에서 단사 함수이자 전사 함수이며, 함수 합성에서 항등원의 역할을 수행하는 중요한 개념이다.
| 단위 원판 | |
|---|---|
| 정의 | |
| 정의 | 중심에서 거리가 1 이하인 점들의 집합 |
| 구분 | 열린 원반 닫힌 원반 |
| 수학적 표현 | |
| 복소평면 | "{z : |z - z₀| < r}" (열린 원반), "{z : |z - z₀| ≤ r}" (닫힌 원반) |
| 유클리드 평면 | "{(x, y) : (x - a)² + (y - b)² < r²}" (열린 원반), "{(x, y) : (x - a)² + (y - b)² ≤ r²}" (닫힌 원반) |
| 성질 | |
| 열린 원반 | 열린 집합 연결 공간 단일 연결 공간 |
| 닫힌 원반 | 닫힌 집합 콤팩트 공간 연결 공간 단일 연결 공간 |
2. 정의
는 열린 단위 원판에서 평면으로 가는 실해석적이고 전단사인 함수이며, 그 역함수 또한 해석적이다. 실수 2차원 해석 다양체로 보면, 열린 단위 원판은 전체 평면과 동형이다. 특히, 열린 단위 원판은 전체 평면과 위상동형이다.
다른 거리에 대한 단위 원판도 고려된다. 예를 들어, 택시 기하학과 체비쇼프 거리에서 원판은 정사각형처럼 보인다(기저 위상 공간은 유클리드 공간과 동일하지만).
유클리드 단위 원판의 면적은 π이며, 둘레는 2π이다. 반면, 택시 기하학에서의 단위 원판의 둘레(택시 거리 기준)는 8이다. 1932년, 골롱브는 노름에서 파생된 거리에서 단위 원판의 둘레는 6과 8 사이의 모든 값을 가질 수 있으며, 단위 원판이 정육각형 또는 평행사변형인 경우에만 이러한 극댓값이 얻어진다는 것을 증명했다.
3. 복소 평면, 상반 평면과의 관계
3. 1. 등각 사상
열린 단위 원판과 복소 평면 사이에는 전단사 해석 함수는 존재하지만, 등각 전단사 사상은 없다. 리만 곡면으로 간주하면, 열린 단위 원판은 복소 평면과는 다르다.
열린 단위 원판과 열린 상반평면 사이에는 등각 전단사 사상이 존재한다. 따라서 리만 곡면으로 간주하면, 열린 단위 원판은 상반평면과 동형("쌍정칙" 또는 "등각 동치")이며, 이 둘은 종종 상호 교환적으로 사용된다.
리만 사상 정리는 복소 평면 자체와 다른 복소 평면의 모든 단일 연결 열린 부분 집합은 열린 단위 원판으로의 등각 전단사 사상을 허용한다고 명시한다.
열린 단위 원판에서 열린 상반평면으로의 한 전단사 등각 사상은 뫼비우스 변환
:
이며, 이는 케일리 변환의 역변환이다.
기하학적으로, 상반평면이 원판의 내부가 되고 실수축이 원판의 원주를 형성하도록 실수축이 구부러지고 축소되는 것을 상상할 수 있으며, 꼭대기의 한 점, 즉 "무한대 점"을 제외한다. 열린 단위 원판에서 열린 상반평면으로의 전단사 등각 사상은 또한 두 개의 스테레오그래픽 투영의 합성을 통해 구성될 수 있다: 먼저 단위 원판은 단위 상반구에 스테레오그래픽 투영을 통해 위로 투영되며, 단위 구의 "남극"을 투영 중심으로 하고, 그 다음 이 반구는 구에 접하는 수직 반평면에 옆으로 투영되며, 접점에 반대되는 반구의 점을 투영 중심으로 한다.
단위 원판과 상반평면은 하디 공간의 영역으로 서로 바꿔 사용할 수 없다. 이러한 차이에 기여하는 요인은 단위 원이 유한한 (1차원) 르베그 측도를 갖는 반면 실수선은 그렇지 않다는 사실이다.
3. 2. 리만 곡면
열린 단위 원판과 복소 평면 사이에는 등각 전단사 사상이 없다. 따라서 리만 곡면으로 간주하면, 열린 단위 원판은 복소 평면과는 다르다.
열린 단위 원판과 열린 상반평면 사이에는 등각 전단사 사상이 존재한다. 따라서 리만 곡면으로 간주하면, 열린 단위 원판은 상반평면과 동형("쌍정칙" 또는 "등각 동치")이며, 이 둘은 종종 상호 교환적으로 사용된다.
더 일반적으로, 리만 사상 정리는 복소 평면 자체와 다른 복소 평면의 모든 단일 연결 열린 부분 집합은 열린 단위 원판으로의 등각 전단사 사상을 허용한다고 명시한다.
열린 단위 원판에서 열린 상반평면으로의 한 전단사 등각 사상은 뫼비우스 변환
: 이며, 이는 케일리 변환의 역변환이다.
기하학적으로, 상반평면이 원판의 내부가 되고 실수축이 원판의 원주를 형성하도록 실수축이 구부러지고 축소되는 것을 상상할 수 있으며, 꼭대기의 한 점, 즉 "무한대 점"을 제외한다. 열린 단위 원판에서 열린 상반평면으로의 전단사 등각 사상은 또한 두 개의 스테레오그래픽 투영의 합성을 통해 구성될 수 있다. 먼저 단위 원판은 단위 상반구에 스테레오그래픽 투영을 통해 위로 투영되며, 단위 구의 "남극"을 투영 중심으로 하고, 그 다음 이 반구는 구에 접하는 수직 반평면에 옆으로 투영되며, 접점에 반대되는 반구의 점을 투영 중심으로 한다.
단위 원판과 상반평면은 하디 공간의 영역으로 서로 바꿔 사용할 수 없다. 이러한 차이에 기여하는 요인은 단위 원이 유한한 (1차원) 르베그 측도를 갖는 반면 실수선은 그렇지 않다는 사실이다.
3. 3. 하디 공간
단위 원판과 상반평면은 하디 공간의 영역으로 서로 바꿔 사용할 수 없다. 이러한 차이를 만드는 요인은 단위 원이 유한한 (1차원) 르베그 측도를 갖는 반면 실수선은 그렇지 않다는 사실이다.
4. 쌍곡 평면의 모델
단위 원판은 쌍곡 평면의 여러 모델을 구성하는 데 사용된다.
푸앵카레 원반 모형에서 단위 원판은 점 집합을 형성하며, 케이리 절대인 단위 원에 수직인 원호는 "선"을 형성한다. 이는 케이리-클라인 계량 스타일로 교차비를 사용하여 원반에 대한 계량을 결정한다. 미분 기하학의 언어로, 단위 원에 수직인 원호는 모형 내 점들 사이의 최단 거리를 나타내는 측지선이다.
벨트라미-클라인 모형은 열린 단위 원반을 기반으로 구축된 쌍곡 공간의 또 다른 모델로, 측지선이 직선이라는 특징을 가진다.
4. 1. 푸앵카레 원반 모델
푸앵카레 원반 모형은 단위 원판에 푸앵카레 계량을 도입하여 쌍곡 평면을 표현하는 방법이다. 이 모델은 등각적이며, 즉 두 곡선 사이의 각도가 보존된다는 특징이 있다. 푸앵카레 원반 모델에서 "선"은 단위 원에 수직인 원호이며, 이는 측지선이 된다.이 모델은 특수 유니타리 군 SU(1,1)로 표현되는 운동을 포함한다. 또한, 푸앵카레 반평면 모형으로 변환될 수 있다. 푸앵카레 원반 모델은 벨트라미-클라인 모형과 비교되는데, 벨트라미-클라인 모형은 등각적이지는 않지만 측지선이 직선이라는 특징을 가진다.
4. 2. 푸앵카레 반평면 모델
푸앵카레 원반과 푸앵카레 반평면은 모두 쌍곡 평면의 등각 모형이며, 이는 교차하는 곡선 사이의 각도가 그 등거리 변환군의 운동에 의해 보존된다는 것을 의미한다.단위 열린 원반 위에 푸앵카레 계량이라고 불리는 새로운 계량을 도입함으로써, 단위 열린 원반은 쌍곡 평면의 모형으로 종종 사용된다. 단위 열린 원반과 상반 평면 사이의 등각 사상을 사용하면, 이 모형은 쌍곡 평면의 푸앵카레 상반 평면 모형으로 바꿀 수 있다. 푸앵카레 원반과 푸앵카레 상반 평면은 모두 쌍곡 공간의 등각 모형이며, 두 모형에서의 각도는 쌍곡 공간에서의 각도와 일치한다. 그 결과, 두 모형 사이의 변환에서 작은 도형의 모양은 보존되지만, 크기는 바뀔 수 있다.
4. 3. 벨트라미-클라인 모델
벨트라미-클라인 모델은 열린 단위 원반을 기반으로 구축된 쌍곡 공간의 또 다른 모델이다. 이 모델은 등각적이지 않지만, 측지선이 직선이라는 특징을 가지고 있다.5. 다른 거리 함수에 대한 단위 원판
일반적인 거리 외에 다른 거리 함수에 관한 단위 원판도 고려할 수 있다. 예를 들어 택시 거리나 체비쇼프 거리에 관한 단위 원판은 정사각형처럼 보인다. 그러나 기반이 되는 위상은 유클리드 거리에서 파생된 것과 동일하다.
유클리드 단위 원판의 면적은 π이며 그 둘레는 2π이다.
5. 1. 택시 거리
택시 기하학과 체비쇼프 거리에서 원판은 정사각형처럼 보인다(기저 위상 공간은 유클리드 공간과 동일하지만).
택시 기하학에서의 단위 원판의 둘레(택시 거리 기준)는 8이다. 1932년, 스타니스와프 골롱브는 노름에서 파생된 거리에서 단위 원판의 둘레는 6과 8 사이의 모든 값을 가질 수 있으며, 단위 원판이 정육각형 또는 평행 사변형인 경우에만 이러한 극댓값이 얻어진다는 것을 증명했다.
5. 2. 체비쇼프 거리
체비쇼프 거리에서 단위 원판은 정사각형 모양이다. 이는 기저 위상 공간은 유클리드 공간과 동일하지만, 거리 함수가 다르기 때문이다.
5. 3. 일반적인 노름 공간
다른 거리에 대한 단위 원판도 고려된다. 예를 들어, 택시 기하학과 체비쇼프 거리에서 원판은 정사각형처럼 보인다(기저 위상 공간은 유클리드 공간과 동일하지만).
1932년, 스타니스와프 골롱브는 노름에서 파생된 거리에서 단위 원판의 둘레는 6과 8 사이의 모든 값을 가질 수 있으며, 단위 원판이 정육각형 또는 평행 사변형인 경우에만 이러한 극댓값이 얻어진다는 것을 증명했다.
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